Информация, которая производится и анализируется в повседневной жизни, является дискретной. Она чаще поступает в виде чисел, а не в форме каких-то непрерывных функций. Поэтому на практике чаще применяются дискретные вейвлетные преобразования (DWT). Конечно, непрерывные вейвлетные преобразования (CWT) также интенсивно изучаются, поскольку это позволяет лучше понять действие DWT. Преобразование DWT использует свертку, однако из опыта известно, что качество преобразований такого типа сильно зависит от двух вещей: от выбора масштабирующих множителей и временных сдвигов, а также от выбора вейвлета.

На практике преобразование DWT вычисляется с помощью масштабирующих множителей, которые равны отрицательным степеням двойки, и временных сдвигов, которые равны положительным степеням числа 2. Двухчленная решетка иллюстрирует такой выбор. Используемые вейвлеты порождают ортонормальные (или биортонормальные) базисы. Основное направление исследования вейвлетов состоит в поисках семейств вейвлетов, которые образуют ортогональный базис. Среди этих вейвлетов предпочтение отдается вейвлетам с компактным носителем, поскольку они позволяют делать преобразования DWT с конечным импульсным откликом (FIR, finite impulse response).

Самый простой способ описания вейвлетных преобразований использует произведение матриц. Преобразование Хаара зависит от двух коэффициентов фильтра со и с\, которые равны 1/\/2 « 0.7071. Эта матрица имеет размер 2x2. С ее помощью порождаются два коэффициента преобразования: среднее и разность. (Заметим, что эти среднее и разность не равны в точности полусумме и полуразности, поскольку вместо 2 используется знаменатель у/2. Более точными терминами были бы, соответственно, выражения «грубые детали» и «тонкие детали»). В общем случае, DWT может использовать любое число фильтров, но все они вычисляются с помощью этого метода независимо от вида фильтров.

Сначала мы рассмотрим один из самых популярных вейвлетов, а именно вейвлет Добеши, который принято обозначать D4. Если эту матрицу применить к вектору-столбцу исходных данных {xi,X2,... ,хп), то ее верхняя строка даст взвешенную сумму s\ = = cqX\ + с\Х2 + С2Х% + с^х^. Третья строка матрицы определит сумму 52 = со^з + + С2Х5 + сз^б^ и все строки с нечетными номерами зададут аналогичные взвешенные суммы S{. Такие суммы совпадают со свертками исходного вектора Х{ и четырех коэффициентов фильтра. На языке вейвлетов все они называются гладкими коэффициентами, а вместе они именуются сглаживающим фильтром Н.

Аналогично вторая строка матрицы W порождает величину d\ = = С3Я1 — С2Х2 + С1Х3 — со#4, а все остальные четные строки матрицы определяют подобные свертки. Каждое число di называется детальным коэффициентом, а все вместе они образуют фильтр G. Фильтр G не является сглаживающим. На самом деле, его коэффициенты подобраны так, чтобы фильтр G выдавал на выход маленькие числа, из которых отражают свойство ортонормалыюсти, а другие три получаются из условия равенства нулю первых трех моментов. В каждой последовательности этого семейства число коэффициентов на два больше, чем в предыдущей, причем они являются более гладкими.