Во введении уже отмечалось, что методы сжатия, основанные на свойствах вейвлетов, используют довольно глубокие математические результаты. Это обстоятельство бросает определенный вызов как автору, так и читателю. Целью этой главы является представление основ теории вейвлетных преобразований (с минимумом дополнительных математических сведений) и ее приложений к задачам сжатия данных. Глава начинается с изложения последовательности шагов, состоящих из вычисления средних (полусумм) и полуразностей, которые преобразовывают одномерный массив исходных данных к виду, удобному для сжатия. Затем этот метод обобщается на двумерные массивы данных, что позволяет применять эти результаты к сжатию оцифрованных изображений. Рассмотренная последовательность трансформаций массива данных является простейшим примером поддиапазонного преобразования. Будет показано, что она идентична преобразованию Хаара.

Связь преобразования Хаара с умножением матриц. Это проложит путь к введению в понятия банка фильтров. В Излагаются некоторые дополнительные математические результаты, знакомство с которыми можно опустить при первом чтении. В этом параграфе обсуждается операция дискретной свертки и ее применение к под диапазонным преобразованиям. Перед тем как углубиться в различные детали следует ответить на часто задаваемый вопрос: «А почему здесь используется именно термин «вейвлет» (wavelet - это слово можно перевести как «маленькая волна» или «всплеск»)?»

Вычисление средних и полуразностей. Мы начнем с одномерного массива данных, состоящего из N элементов. В принципе, этими элементами могут быть соседние пикселы изображения или последовательные звуковые фрагменты. Для простоты предположим, что число N равняется степени двойки. (Это будет предполагаться на протяжении всей главы, но в этом нет ограничения общности. Если длина N имеет другие делители, то можно просто удлинить массив, добавив в конце нули или повторив последний элемент нужное число раз. После декомпрессии, добавленные элементы просто удаляются.
Массив, состоящий из четырех полусумм и четырех полуразностей, можно использовать для восстановления исходного массива чисел. Новый массив также состоит из восьми чисел, но его последние четыре компоненты, полуразности, имеют тенденцию уменьшаться, что хорошо для сжатия. Воодушевленные этим обстоятельством, повторим нашу процедуру применительно к четырем первым (крупным) компонентам нашего нового массива. Они преобразуются в два средних и в две полуразности. Остальные четыре компонента оставим без изменений . Следующая и последняя итерация нашего процесса преобразует первые две компоненты этого массива в одно среднее (которое, на самом деле, равно среднему значению всех 8 элементов исходного массива) и одну полуразность, который называется вейвлетным преобразованием Хаара исходного массива данных. Из-за взятия полуразностей вейвлетное преобразование приводит к уменьшению значений исходных пикселов, поэтому их будет легче сжать с помощью квантования и кодирования длинами серий (RLE), методом Хаффмана, или, быть может, иным подходящим способом. Сжатие с потерей части информации достигается, как обычно, с помощью квантования или простого удаления наименьших полуразностей (заменой их на нули).

Перед тем как двигаться дальше, интересно (и полезно) оценить сложность этого преобразования, то есть, число арифметических операций как функцию размера данных.

Удобно с каждой итерацией процесса связать величину, называемую ее разрешением которая равна числу оставшихся средних в конце итерации. Разрешение после каждой из трех описанных выше итераций равно. Каждую компоненту вейвлетного преобразования следует нормализовать с помощью деления на квадратный корень из разрешения соответствующей итерации (это относится к ортонормированному преобразованию Хаара). Можно показать, что при использовании нормализованного вейвлетного преобразования наилучшим выбором сжатия с потерей будет игнорирование наименьших полуразностей. При этом достигается наименьшая потеря информации.